ГЛАВА 5. ОСНОВЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.

5.1. Первообразная функция.





В предыдущей главе мы разобрали, что для функции производной является функция. По предложению французского математика Лагранжа (1736-1813 г.г.) в математике условились называть функцию для функции y’ первообразной.

Итак, первообразной для заданной функции называется та функция, из которой заданная может быть получена дифференцированием.

Пример 1. Пусть , тогда — производная для для функции будет первообразной.

Пример 2. Пусть . Тогда — производная для . Отсюда, для той же производной и функция тоже будет первообразной (рис.30).

Нетрудно увидеть, что перемещая параболу вдоль оси ОУ, мы получим множество парабол, уравнение которых можно записать в виде:

+ С, (40)

где С — любое постоянное действительное число, и производная y’ которых — единая:
Отсюда следует очень важное свойство первообразных, что если какая-то функция—первообразная для функции то и функция тоже первообразная для функции. То есть, другими словами, для каждой производной существует целое множество (семейство, класс и т.д.) первообразных, отличающихся между собой только постоянным числом.





Это свойство вытекает из того, что при дифференцировании функции бесследно исчезает постоянная ее часть, т.е.
В математике принято явный вид первообразной записывать в общем виде так:

где —часть функции у, содержащая аргумент х , т.е. изменяющаяся ее часть, а С — часть функции у, не содержащая аргумент х, т.е. не изменяющаяся ее часть — постоянная —

Пример. можно записать в виде ,где (41)

Соответствующими точками можно назвать:


т.е. точки производной и всех ее первообразных с одинаковыми значениями аргумента (абсциссы). При этом для обеих парабол на рис.28 :

Отсюда следует, что касательные к графикам всех первообразных одной производной в точках, соответствующих конкретному значению аргумента производной, между собой параллельны.




5.2. Прямой метод определения первообразной.

После введения понятия первообразной сразу возникают вопросы: можно ли по заданной производной найти ее первообразную и если можно, то как это сделать? Частным случаем утвердительного ответа на эти вопросы могут служить примеры 1 и 2 предыдущего параграфа. Несколько обобщая их и учитывая (40) и (41), можно получить один из способов, называемый прямым, нахождения пары: первообразной и ее производной.
Пусть имеем выраженную в явном виде функцию . Представим ее в виде (40). Один раз дифференцируя, находим ее первую производную . С учетом определения первообразной можно сказать, что для функции первообразной будет .

Пример. Имеем: .



Проверку сказанного можно сделать дифференцированием функции у.
Такой подход позволяет составить конкретные пары — производная — первообразная, когда заведомо известна одна из первообразных. А если известна только производная, то как найти ее первообразную и как записать эту процедуру (процесс нахождения производной) в виде формулы — аналитически? Наиболее удачно предложил решать эту задачу в общем виде знаменитый немецкий математик и физик Г.Лейбниц (1646-1716 г.г.) с помощью им введенного понятия дифференциала.




5.3. Неопределенный интеграл и интегрирование.

По определению дифференциала (30) имеем:
Доказано, что значение функции в любой точке ее существования равно сумме дифференциалов этой функции, взятых относительно любой ее фиксированной точки. То есть, используя первую букву латинского слова SUMMA, можно записать:

(42)

где — производная, а у — ее первообразная. Таким образом через (42) удалось символически выразить в виде равенства первообразную через ее производную как нечто целое, составленное из слагаемых. В качестве термина для (42) в математике укоренилось французское слово integral — интеграл, которое на русском языке означает — полное, целое, суммарное. Со временем буква S превратилась в символ , названный знаком интеграла. Так (42) превратилось в выражение (формулу)

(43)

читаемое так: функция игрек есть интеграл от игрек штрих по дэ икс. Здесь принято называть подинтегральным выражением все то, что стоит под знаком интеграла, а то, что стоит между знаком интеграла и буквой — подинтегральной функцией.
Например, если имеем: , то
— подинтегральное выражение, а
— подинтегральная функция.
С учетом (40) можно (43) записать в виде:

(44)

Так как здесь С есть любое постоянное число, т.е неопределенная постоянная величина, то и выражение (44) принято называть неопределенным интегралом, а сам процесс нахождения первообразной через ее производную или, что тоже самое, нахождения (взятия) интеграла называется математической операцией интегрирования функции или просто интегированием. Постоянную С называют еще постоянной интегрирования. Из вышесказанного следует, что интегрирование есть операция, обратная дифференцированию, а неопределенный интеграл есть множество первообразных функций по отношению к заданной производной. Значит, если, дифференцируя найденное в результате интегрирования выражение, мы получим подинтегральную функцию, то интегрирование выполнено правильно, т.е.

. (45)

Например, — справедливое (правильное) равенство, т.к.
— подинтегральная функция.




5.4.Основные правила нахождения неопределенного интеграла.

Исходя из правил дифференцирования и выражения (45), можно получить следующее:
1. , т.е. интеграл от дифференциала любой функции есть сама функция с точностью до постоянной.
2. Если .
3. Если А — величина, не зависящая от аргумента, то , т.е. сомножитель, независимый от аргумента, можно выносить за знак интеграла.

Пример: .

4. , т.е. интеграл от алгебраической суммы равен этой же сумме интегралов от слагаемых.

Пример : .







.



.



.

9. Правило подстановки:









5.5. Определение постоянной интегрирования.

Если известно значение определяемой через неопределенный интеграл первообразной функции хотя бы при одном значении ее аргумента, то всегда можно найти конкретное значение для произвольной постоянной интегрирования — С при взятом интеграле, т.е. из множества первообразных определить конкретную функцию. Пусть имеем, что при искомая принимает значение, т.е.

. (46)

Отсюда . Тогда первообразная принимает определенный вид:

, (47)

где — начальные условия.










Это же самое можно сразу найти из (47) с учетом взятого неопределенного интеграла.

.





5.6. Геометрический смысл неопределенного интеграла.

Из определения первообразной в 5.1., равенства (40) и рисунка 30 можно сделать заключение, что с позиции геометрии неопределенный интеграл есть бесконечное множество одинаковых по форме графиков, перемещающихся вдоль оси ОУ относительно графика функции параллельным переносом на С единиц вверх, если С>0, и на С единиц вниз, если С<0.
При этом из множества первообразных всегда можно подобрать такую, график которой будет проходить через заданную точку , если принадлежит области определения функции . В этом состоит геометрический смысл начальных условий.

Пример. Для функции найти первообразную функцию и построить график этой первообразной, проходящей через точку(рис.31).

Решение: , т.е. имеем множество функций, т.к. график должен пройти через то ее координаты должны обратить в верное равенство уравнение найденной функции, т.е.. Отсюда С=5 – 8 =–3. Значит уравнение искомой первообразной есть , графиком которой является следующая парабола:



Так как в результате интегрирования появляется неопределенное постоянное число С, то (48) и (49) с учетом задач 1 и 2 из 3.1. можно сформулировать так:

С позиции механики неопределенный интеграл от скорости прямолинейно движущейся точки есть закон изменения ее пути с точностью до С, а неопределенный интеграл от ускорения прямолинейно движущейся точки есть закон изменения ее скорости с точностью до С.

Сами по себе (48) и (49) не имеют практической конкретности. Но, вспоминая вывод из 5.5. и учитывая (47), можно сказать:

При наличии начальных условий и при решении (48) определяется конкретная функция без каких-либо неопределенностей; при наличии начальных условий и при решении (49) определяется конкретная функция без каких-либо неопределенностей.

Таким образом, в механических задачах дифференцирование и интегрирование позволяют в принципе по одной из трех функций , и a = a(t) найти остальные две.
Для иллюстрации сказанного решим следующую задачу.

Задача. Найти результат спринтера в беге на 100 м и его ускорение по дистанции, если известно, что в фазе разбега в течение первых пяти секунд его скорость изменялась по параболическому закону и достигнутая скорость 10 м/с сохранялась до финиша (рис.32).

Решение:



Так как вершина параболы расположена в точке А(5,10), то будем искать закон изменения скорости в виде: . По условию задачи . Значит , т.е. . Отсюда скорость в первые 5 с изменялась по закону при .

Так как при

Для определения закона изменения расстояния спринтера от старта с течением времени воспользуемся формулой (48).

или

.

Так как при, то отсюда С = 0 и .

Найдем Значит за первые 5 с спринтер пробежит 33,3 м. Оставшиеся 66,7 м он бежал с постоянной скоростью 10 м/с и пробежал это расстояние за время . С учетом первых пяти секунд разбега получим результат , т.е. спринтер пробежал 100 м примерно за 11,7 с.






5.8. Определенный интеграл.

Итак, задачи практической деятельности человека в любой отрасли, в которых по заданной производной необходимо найти ее первообразную, связаны с интегрированием, т.е. нахождением неопределенного интеграла. Их решениями являются в общем случае функции

. (50)

Но во многих задачах практики при известной производной нет необходимости находить первообразную, а достаточно знать ее приращение при известном приращении аргумента от одного значения до другого, общего как для производной, так и для первообразной. Графически очень наглядно это иллюстрирует рис.30. Если аргумент у всех трех графиков изменился от = 0 до = 1, то значения функций и на графике II, и на графике III изменились (по вертикали) на 0,5. Если аргумент у всех трех функций изменился от= 1 до = 2, то значения функций и на графике II, и на графике III изменились (по вертикали) на 1,5. Если аргумент у всех трех функций изменился от = 2 до = 4, то значения функций и на графике II, и на графике III изменились (по вертикали) на 6. Такие сравнения можно было бы продолжать бесконечно и в каждом случае при любом изменении аргумента от х=а до х=b изменения обеих первообразных будут одинаковы, т.е.
или, другими словами, приращения первообразных будут одинаковыми, не зависящими от С. Не трудно убедиться, что этот же вывод будет справедлив и для любых производных и их первообразных. Действительно, пусть имеется , тогда

. (44)

Предположим, что неопределенный интеграл взят и выражен в виде (44), а аргумент изменяется от х=а до х=b, т.е . Найдем изменение первообразной в общем виде, имея в виду, что и . Тогда . Так как в (44) y(b) — значение неопределенного интеграла при x=b , а y(a) — значение неопределенного интеграла при х=а, то разность интегралов тоже будет интегралом, но уже без неопределенной постоянной интегрирования С. Такая разность неопределенных интегралов без неопределенностей была названа Я.Бернули определенным интегралом. Итак,

определенным интегралом называется приращение первообразной функции при известном изменении аргумента от x = a до x = b и обозначается в виде:

. (51)

Это формула Ньютона-Лейбница, где: — определенный интеграл, а — нижний предел интегрирования, b — верхний предел интегрирования, F(x) — часть первообразной для y’, содержащая аргумент х и не содержащая С.




5.9. Основные свойства определенного интеграла.

Так как для вычисления определенного интеграла по (51) необходимо по 5.4. найти соответствующий неопределенный интеграл, то все правила (5.4.) нахождения неопределенного интеграла будут являться правилами нахождения определенного интеграла. Кроме этого можно доказать, что
1. , т.е. при перемене местами пределов интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный. Например: .
2. Если интервал от а до b разбить точкой с на два интервала от а до с и от с до b, то
.
5.10. Вычисление определенного интеграла.
Из (51) следует, что определенный интеграл не функция, а число и для его нахождения необходимо сделать следующее:
1. По правилам интегрирования найти часть первообразной, не содержащую С, т.е. найти F = F(x).
2. В найденную функцию F(x) вместо х подставить верхний предел b, т.е. найти F(b).
3. В найденную функцию F(x) вместо х подставить нижний предел а, т.е. найти F(а).
4. Разность между F(b) и F(b) и будет значением определенного интеграла, т.е. приращением первообразной при изменении ее аргумента от до .

, что словами можно выразить так: если аргумент х производной функции изменился на две единицы от трех до пяти, то первообразная этой производной изменилась на единиц.





5.11. Механический смысл определенного интеграла.

Опираясь на механический смысл неопределенного интеграла 5.7. по формуле Ньютона-Лейбница (51) из (48) и (49) соответственно получим:

, (52)

(53)

То есть с позиции механики определенный интеграл от скорости прямолинейно движущейся точки есть изменение ее расстояния от фиксированного положения за известный промежуток времени , определенный интеграл от ее ускорения есть изменение ее скоростиза рассматриваемый промежуток времени

Задача 1. По условию задачи из 5.7. определить расстояние, которое пробежал спринтер от старта за первые 5 с его бега.



пробежал 33,3 м со старта.

Задача 2. По результатам задачи из 5.7. определить, на сколько изменилась скорость бега спринтера от третьей до пятой секунды.

Решение: По (53) имеем:



5.12. Геометрический смысл определенного интеграла.

Рассмотрим определенный интеграл, опираясь на понятие дифференциала функции и рис.33.
Пусть имеем первообразную функцию — график I и ее производную — график II. Согласно определению определенного интеграла имеем:

. (51)

Разобъем интервал для простоты и наглядности на 3 части: , соответственно разобъется тоже на 3 части:. Отсюда будем иметь:

Если n будем неограниченно увеличивать, к площади фигуры

Пользуясь понятием предела переменной величины, (57) можно записать в виде:

т.е. с позиции геометрии определенный интеграл численно равен площади фигуры ограниченной: сверху (или снизу) — участком графика под-интегральной функции от x = a до x = b; справа и слева — вертикалями x = a и x = b; снизу (или сверху) — отрезком b – a оси ОХ.
Это свойство определенного интеграла дает возможность через него аналитически определять площади плоских фигур и наоборот, по площадям фигур графически (приблизительно) находить значение определенного интеграла.

Задача 1. Определить площадь фигуры (SABCDE), изображенной на рисунке 34.





Задача 2. Найти приближенно импульс силы вертикальной составляющей силы отталкивания в прыжке в высоту по

тензограмме, изображенной на рис. 35.

Площадь фигуры, расположенной внутри кривой , приблизительно равна 56 квадратикам. Каждый квадратик эквивалентен 10 кг 0,1 с = 1 кг с. Значит



Задачи для самостоятельного решения.

Найти площади фигур, ограниченных следующими функциями:




5.13. Общие сведения о дифференциальных уравнениях.
С открытием математических операций дифференцирования и интегрирования в начале XVIII столетия появилась новая ветвь математики — “Дифференциальное и интегральное исчисление”. На базе этого исчисления возникли многие новые науки и научные направления: теоретическая механика, дифференциальная геометрия, молекулярная и атомная физика, электричество и электроника, теория управления и кибернетика, радио и телевидение, теория полета и самолетостроение, аэро-гидродинамика, кораблестроение, баллистика, ракетная и космическая техника и многое другое. Во всем вышеперечисленном одним из главных инструментов теоретического решения основных задач являются дифференциальные уравнения и их системы.

Дифференциальные уравнения — это равенства, в которых среди неизвестных есть производные или дифференциалы.

Относительно дифференциальных уравнений употребляется понятие их порядка.

Порядок дифференциального уравнения совпадает с наивысшим порядком входящих в него производных или дифференциалов.

Например: — дифференциальное уравнение 3-го порядка;
— дифференциальное уравнение 2-го порядка.
Производные и дифференциалы могут входить в уравнение в различных степенях, что может повлиять еще и на степень дифференциального уравнения.
Дифференциальное уравнение относительно функции с одной переменной называется обыкновенным. Дифференциальное уравнение относительно функции с несколькими переменными называется уравнением с частными производными.
Решить дифференциальное уравнение — это значит найти функции, которые при их подстановке в заданное уравнение обращают его в тождество. Такие функции называют решениями или интегралами рассматриваемых уравнений.
Если решения дифференциальных уравнений содержат постоянные интегрирования, то такие решения называются общими решениями или общими интегралами.
Если решения дифференциальных уравнений не содержат постоянных интегрирования, то такие решения называются частными решениями или частными интегралами.
Процесс решения дифференциального уравнения называют его интегрированием, т.к. найденные решения являются первообразными функциями.
Например: функция — есть общий интеграл дифференциального уравнения — частный интеграл данного уравнения. Действительно, подставляя в заданное уравнение
5.14. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
В общем случае решение или интегрирование дифференциальных уравнений и их систем, к чему приводится большое количество современных задач практики, является одним из самых сложных процессов математики. Из бесчисленного множества дифференциальных уравнений наиболее простым их классом с позиции получения общего интеграла являются уравнения первого порядка вида:

, (60)

где. u и v — любые функции соответственно только от y и только от х, т.е. переменные здесь разделены по слагаемым. Решаются эти уравнения следующим образом:

(61)

Взятие интегралов в (61) приводит к нахождению общего решения уравнения (60), а с наличием начальных условий можно определить и его частные решения.

Уравнения, приводящиеся к виду (60), называют дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными.

Пример. Найти общий интеграл уравнения:

.



Пользуясь вышеизложенным, выведем некоторые закономерности равномерного движения, с помощью которых можно провести биомеханический анализ многих спортивных задач, имеющих полетные фазы либо спортсменов, либо спортивных снарядов.




5.15. Вертикальное движение материальной точки в поле тяготения Земли.

Пусть имеем материальную точку с массой m. Для нее справедлив закон Ньютона ma=F. Рассмотрим случай когда эта точка либо свободно вертикально падает, либо вертикально взлетает в результате ее выброса в поле тяготения Земли. Без учета сопротивления воздуха можно сказать, что на точку действует только сила тяжести, т.е. F = P = mg. Тогда ma = mg или

(62)

Значит, свободное вертикальное движение материальной точки в поле тяготения Земли есть равноускоренное движение вниз или равнозамедленное движение вверх с положительным или отрицательным ускорением
По (33) с учетом (62) имеем: — дифференциальное уравнение с разделенными переменными, общим

решением которого по (61) будет:

(63)

Если известно, что при примет частный вид:

— (64)

закон возрастания скорости падения точки, начинающей свободно падать с начальной вертикальной скоростью . При выбросе точки снизу вверх с начальной вертикальной скоростью закон убывания вертикальной скорости будет:

закон возрастания скорости падения точки, начинающей падать с начальной скоростью, равной нулю.
Из (31) с учетом (64) будем иметь: дифференциальное уравнение с разделенными
переменными, общим решением которого по (61) будет:

закон убывания высоты точки над Землей, начинающей путь с высоты
время свободного падения точки с высоты до Земли.
При выбросе точки снизу вверх с начальной скоростьюотносительно набора высоты S точки над Землей будем иметь: или — дифференциальное уравнения с разделенными переменными, общее решение которого по (61)

будет:

Так как скорость выброшенной вверх точки при максимальном подъеме точки над Землей гаснет до нуля, то из (65) при V = 0 получим:

максимальная высота подъема над Землей точки, выброшенной вертикально вверх с начальной скоростью
Применим вышеизложенное к одной из задач спортивной практики.

Задача. Найти минимальный суммарный импульс силы, который должен приложить спортсмен-толкатель ядра к мужскому ядру весом P = 7,257 кг, выпуская его с высоты 2 м и достигая спортивного результата R = 10 м.

Решение: Из теоретической механики следует, что

где J — импульс силы за время действия , m — масса тела, — изменение скорости движения центра тяжести (ЦТ) тела за время действия силы. Так как разгон спортивного снаряда — ядра толканием происходит из его фиксированного положениядо скорости вылета ядра за время от — момента вылета, то (75) примет вид:

. (76)

В баллистике известно, что максимальная горизонтальная длительность полета тела, выброшенного под углом к горизонту, без учета сопротивления воздуха для фиксированнного импульса силы будет тогда, когда угол вылета ЦТ тела При этом траекторией ЦТ этого тела будет парабола. Значит для заданной дальности полета ядра, обеспечивающий ее минимальный импульс силы, должен сообщить центру тяжести ядра вектор скорости вылета направленный под углом 45 к горизонту (рис. 36). Здесь А — точка вылета ядра, D — точка его падения.



Будем искать уравнение траектории ЦТ ядра в виде: , откуда . Из 3.7. известно, чтопринадлежит траектории, то и уравнение траектории принимает вид:

(77)

Из этого уравнения найдем с учетом того, что тоже принадлежит траектории.

Значитили . Решая последнее относительно

получим:



По (76) окончательно получаем т.е. толкатель ядра для сообщения ядру скорости вылета в 9 м/с, должен приложить как минимум импульс силы, равный 6,66 кГ с.

Для определения полного импульса силы, приложенного спортсменом к ядру, необходимо добавить вертикальный импульс силы тяжести JТ ядра за время действия на него, т.е.

, (78)

где — начало выполнения упражнения, — начало полетной фазы ядра.