“Уважайте науку о числах, ибо все наши пороки и преступления не более, чем ошибки в расчетах”
Рене Декарт (1596-1650)
1. Математика и ее основные понятия.
Все, что нас окружает, можно назвать объектами. Объекты бывают реальными, (т.е. существующими в пространстве), например, человек, стол, карандаш и абстрактными (т.е. созданными в воображении человека), например, прямая линия, окружность.
Каждый объект имеет свои особенности. В процессе познания их можно выявить и описать. Например, у человека — возраст, рост, цвет волос, глаз.
Все, что отличает один объект от другого, называют характеристиками.
Характеристики можно разделить на качественные — не представимые в виде чисел, и количественные, которые можно представить в виде чисел.
Математика — это наука о количественных характеристиках любых объектов.
К основным понятиям математики можно отнести следующие.
Число — абстрактное выражение количества объектов.
Множество — это совокупность количественных объектов, объединенных общими свойствами.
Примерами множеств могут служить число стульев в аудитории, число людей на земном шаре, объемы нагрузок в тренировочном процессе. Множества бывают реальными и абстрактными, конечными и бесконечными, открытыми и замкнутыми.
Множество рациональных чисел составляют целые, дробные, положительные и отрицательные числа.
Множество иррациональных чисел составляют рациональные числа, находящиеся под знаком корня (радикала) любой степени.
Множества рациональных и иррациональных чисел образуют множество действительных чисел.
Числа вида a + bi, где a и b — действительные числа, 
— мнимое число, образуют множество комплексных чисел.
Геометрическая точка — объект бесконечно малых размеров и не имеющий массы.
Линия — воображаемый след движения точки.
Поверхность — воображаемый след движения линии.
Пространство — бесконечное множество, любая часть которого, не состоящая из одного объекта, тоже есть бесконечное множество.
Фигура — пространство, ограниченное либо линиями, либо поверхностями.
2. Системы координат.
Для того, чтобы изучить пространство, надо ввести систему координат.
Система координат — любая система, имеющая начало, направление и единицы отсчета.
Наиболее употребимы следующие системы координат:
1) линейные: каждому числу ставится в соответствие определенная точка и наоборот;
а) прямолинейные, например, ось времени, вправо — будущее, влево — прошлое;
б) криволинейные, например, дистанция кросса;
2) поверхностные системы координат (двумерные). Наиболее употребимая — прямоугольная система координат: каждой паре чисел ставится в соответствие определенная точка на плоскости и наоборот.
3) пространственные системы координат (трехмерные). Наиболее употребимая — прямоугольная система координат: каждой тройке чисел соответствует определенная точка в пространстве и наоборот.
Все системы координат устанавливают взаимнооднозначное соответствие между группами чисел и точками рассматриваемого пространства.
Задача 1. Требуется определить физическое состояние спортсмена через быстроту, силу, ловкость, гибкость, выносливость.
Решение: вводим n-мерную систему координат. Каждая координата — это соответствующая характеристика физического состояния спортсмена (5 характеристик, т.е. n = 5). Вводим единицы измерения для оценки характеристик. Даем 5 тестов и определяем каждую характеристику имея в виду, что
х1 — быстрота,
х2 — сила,
х3 — ловкость,
х4 — гибкость,
х5 — выносливость.
Как это представить в виде чертежа? Берем точку О — начало отсчета и 5 направлений (рис.1). На каждом из этих направлений откладываем соответствующее количество единиц, полученных в результате измерения каждого качества. Физическое состояние спортсмена М оценивается пятеркой чисел М(А; B; C; D; E), т.е. устанавливаются взаимнооднозначные соответствия между пятерками чисел (графически — пятиугольником) и физическим состоянием и наоборот.
3. Расстояние между двумя точками в прямоугольной системе координат на плоскости.
Задача 2. Пусть на плоскости имеются две точки А и В. Требуется найти расстояние между ними.
Решение:Вводим систему координат(рис. 2) и определяем координаты точек А и В, проецируя их на оси координат. Соединим точки А и В. Рассмотрим треугольник АВС, он прямоугольный. По теореме Пифагора
АВ2 = АС2 + ВС2
АС = хb – xa ; BC = yb – ya
Получаем: AB2 = (хb – xa)2 + (yb – ya)2
Извлекая корень и беря его только с плюсом (т.к. это расстояние), получаем:
(1)
Это формула расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат на плоскости.
Вместо отрезка — геометрического образа — получаем формулу, т.е. геометрический образ превратили в аналитическое выражение.
Задача 3. Определить минимальное общее расстояние S — многодневной велогонки, со стартом и финишем в пункте А и проходящей через пункты В, С, D, если А(–5;–1), В(2;6), С(8;2), D(5;–3). Масштаб 1:10 км (рис.3).
Решение: по формуле (1) находим длины отрезков AB, BC, CD, DA:
P(ABCD)=9,9 + 7,2 + 5,8 + 10,2 = 33,1;
S(ABCD) 331 км 33,1 10 км.
Задача 4. Проверить, является ли треугольник АВС прямоугольным, если А(–3; 7), В(6;2), С(1;–3) (Рис.4).
Решение: По формуле (1) находим длины сторон треугольника:
Известно, что для прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора: квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон. Так как
то ABC — не прямоугольный.