ТЕМА № 1

Прямоугольная система координат, расстояние между точками.

где : — координаты т — координаты т.В.

Примеры решения задач на тему № 1:

Задача 1. Определить минимальное общее расстояние S многодневной велогонки со стартом и финишем в пункте А и проходящей через пункты В, С, D, если A (–5;–1), B (2;6), C (8;2), D (5;–3). Масштаб 1:10 км.

Решение: По формуле (1) находим длины отрезков АВ, ВС, СД и ДА:

Задача 2. Проверить, является ли треугольник АВС прямоугольным, если A (-3;7), B (6;2), C (1;-3).

Задача 3. Начертить прямоугольную систему координат. Поставить наугад три точки на координатной плоскости, определить координаты точек (спроектировав их на оси координат). Найти периметр полученного треугольника и определить, прямоугольный он или нет.

Решение:

Задача 4. На оси ординат найти точку, удаленную от точки А (4;–1) на 5 единиц. Объяснить, почему получается 2 решения.

Решение:

Задача 5. Найти центр и радиус круга, описанного около треугольника с вершинами А (4;3), В (–3;2), С (1;–6).

Решение:

Тема № 11: Определенный интеграл. Свойства определенного интеграла.

Итак, задачи практической деятельности человека в любой отрасли, в которых по заданной производной необходимо найти ее первообразную, связаны с интегрированием, т.е. нахождением неопределенного интеграла. Их решениями являются в общем случае функции




Но во многих задачах практики при известной производной нет необходимости находить первообразную, а достаточно знать ее приращение при известном приращении аргумента от одного значения до другого, общего как для производной, так и для первообразной.

Пусть а аргумент изменяется от х = а до х = b, т.е . Найдем изменение первообразной в общем виде, имея в виду, что . Тогда . Так как y(b) — значение неопределенного интеграла при x = b , а y(a) — значение неопределенного интеграла при х = а, то разность интегралов тоже будет интегралом, но уже без неопределенной постоянной интегрирования С. Такая разность неопределенных интегралов без неопределенностей была названа Я.Бернули определенным интегралом. Итак, определенным интегралом называется приращение первообразной функции при известном изменении аргумента от x = a до x = b и обозначается в виде:

. (20)

Это формула Ньютона-Лейбница, где: — определенный интеграл, а — нижний предел интегрирования, b — верхний предел интегрирования, F(x) — часть первообразной для y’, содержащая аргумент х и не содержащая С.

Основные свойства определенного интеграла

Так как для вычисления определенного интеграла необходимо найти соответствующий неопределенный интеграл, то все правила нахождения неопределенного интеграла будут являться правилами нахождения определенного интеграла. Кроме этого можно доказать, что
1. , т.е. при перемене местами пределов интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный. Например: .
2. Если интервал от а до b разбить точкой с на два интервала от а до с и от с до b, то

.

Например: .

Вычисление определенного интеграла

Из (20) следует, что определенный интеграл не функция, а число и для его нахождения необходимо сделать следующее:
1. По правилам интегрирования найти часть первообразной, не содержащую С, т.е. найти F = F(x).
2. В найденную функцию F(x) вместо х подставить верхний предел b, т.е. найти F(b).
3. В найденную функцию F(x) вместо х подставить нижний предел а, т.е. найти F(а).
4. Разность между F(b) и F(b) и будет значением определенного интеграла, т.е. приращением первообразной при изменении ее аргумента от до .

Пример. , т.е

, что словами можно выразить так: если аргумент х производной функции изменился на две единицы от трех до пяти, то первообразная этой производной изменилась на единиц.



Механический смысл определенного интеграла

Опираясь на механический смысл неопределенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница (20) из (18) и (19) соответственно получим:

То есть с позиции механики определенный интеграл от скорости прямолинейно движущейся точки есть изменение ее расстояния от фиксированного положения за известный промежуток времени , определенный интеграл от ее ускорения есть изменение ее скорости за рассматриваемый промежуток времени

Примеры решения задач на тему № 11 :

Задача 1. Определить расстояние, которое пробежал спринтер от старта за первые 5 с его бега, если скорость его изменялась по закону

Решение: По (21) будем иметь:

(м), т.е. за первые 5 с спринтер пробежал 33,3 м от старта.
Задача 2. Определить, на сколько изменилась скорость бега спринтера от третьей до пятой секунды, если ускорение его изменялось по закону

Решение: По (22) имеем:

т.е. от третьей до пятой секунды скорость спринтера возросла на 1,6 м/с.


Примеры для самостоятельного решения

Реши и представь преподавателю:









7. Найти на сколько изменилась скорость бега спринтера от второй до четвертой секунды, если ускорение его изменяется о закону
Практическое занятие № 12-13
Тема 12-13 : Определение площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла
С точки зрения геометрии определенный интеграл есть площадь плоской фигуры, ограниченной сверху( снизу) участком графика подынтегральной функции от до , снизу (или сверху) отрезком оси ОХ, справа и слева вертикалями

Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линией

Решение: решение задачи начинаем с анализа линии (или линий), входящих в условие задачи. — парабола, симметричная относительно оси ОУ с вершиной в т. С (0;9) (при х = 0, у = 9), ветвями направленными вниз (перед стоит знак "–"). Для построения параболы необходимо знать три точки, одна из которых обязательно должна быть вершиной. Координаты вершины уже определены. Так как вершина находится выше оси ОХ и ее ветви направлены вниз, то две другие точки параболы можно найти как точки пересечения с осью ОХ. Для этого решаем уравнение:, отсюда 9 = х = 3. Следующий шаг — построение параболы. Чертим прямоугольную систему координат и по трем точкам приблизительно строим параболу.



Заштриховываем фигуру, площадь которой надо найти. Следующий шаг — находим пределы интегрирования. Это вертикали, ограничивающие с боков площадь. В нашем примере: . Согласно геометрическому смыслу производной:

36 КВ.ЕД

Если фигура симметрична относительно осей координат, то удобно вычислить половину площади и умножить полученное значение на 2.

Задача 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение: Анализируем линии, входящие в задание. Это кривые второго порядка — параболы. Для построения парабол находим их вершины и точки пересечения парабол с осью ОХ. Вершины парабол находятся по формулам:

, где а и b — параметры в квадратном уравнении. Ординаты находятся путем подстановки абсцисс в соответствующее уравнение параболы. Для первой параболы: Координаты вершин первой параболы .

Для второй параболы:

.

Координаты вершины второй параболы: .

Точка пересечения первой параболы с осью ОХ:

.

Точка пересечения второй параболы с осью ОХ:

.

Строим параболы.



Площадь фигуры, находящуюся между параболами (заштрихованную), надо найти.

Найдем точки пересечения парабол. Это будут пределы интегрирования. Для этого решим систему уравнений:

Левые части (у) уравнений равны, значит равны и правые.

— это вертикали, ограничивающие с боков площадь фигуры.

Для нахождения площади, заключенной между двумя линиями, существует правило: интеграл по верхней линии минус интеграл по нижней линии, пределы интегрирования — точки пересечения этих линий, т.е.:





Задачи для самостоятельного решения


Реши и представь преподавателю:

1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:



3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:



4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Требования к зачету по высшей математике
Для получения зачета студент должен:
1. Изучить теоретические основы курса.
2. Решить все задачи, выделенные для самостоятельного решения и представить результаты решения преподавателю.
3. Уметь решать любую из задач, подобных вынесенным для самостоятельного решения в данном пособии.
4. Уметь отвечать на вопросы изложенные в объеме зачетных требований рабочей программы.
5. Выполнить и защитить две расчетно-графических работы (РГР № 1 и РГР № 2) у своего преподавателя.

ПРИМЕЧАНИЕ: Вся работа может быть выполнена в домашних условиях, завершающая защита контрольных работ и сдача зачета в сроки согласованные с ведущим преподавателем .
ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ ПО МАТЕМАТИКЕ
1. Математика и цель ее изучения в физкультурных ВУЗах.
2. Понятие об элементарной и высшей математике.
3. Система координат и основная цель их введения.
4. Расстояние между двумя точками на плоскости.
5. Функциональная зависимость между двумя переменными.
6. Линейная функциональная зависимость, ее график и примеры ее использования в физвоспитании.
7. Уравнение кривой с угловым коэффициентом.
8. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
9. Уравнение прямой в отрезках.
10. Квадратичная функциональная зависимость, ее график и примеры ее использования в физвоспитании.
11. Окружность и ее каноническое уравнение.
12. Парабола и ее каноническое уравнение.
13. Гипербола и ее каноническое уравнение.
14. Эллипс и его каноническое уравнение.
15. Примеры использования параболы в спортивной практике.
16. Бесконечно малые и бесконечно большие величины.
17. Свойства бесконечно малых величин.
18. Предел переменной величины.
19. Предел функции двух переменных.
20. Свойства пределов.
21. Приращение аргумента и приращение функции.
22. Практические задачи, приводящие к понятию производной.
23. Производная функции по ее аргументу и план действий ее непосредственного определения.
24. Механический смысл производной.
25. Геометрический смысл производной.
26. Определение производной непосредственно ( на примере ).
27. Производные высших порядков.
28. Экстремальные точки и их определение с помощью производных.
29. Решение экстремальных задач практики с помощью производных.
30. Первообразная функция.
31. Интегрирование и его использование в физвоспитании.
32. Аналитическое выражение неопределенного интеграла.
33. Геометрический смысл неопределенного интеграла.
34. Механический смысл неопределенного интеграла.
35. Геометрические условия для определения постоянной интегрирования.
36. Механические условия для определения постоянной интегрирования.
37. Определенный интеграл, порядок вычисления и применение в физвоспитании.
38. Геометрический смысл определенных интегралов.






список литературы


1. Агачев П.Е. Курс высшей математики (для техникумов). — М., 1970.
2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. — М., 1979.
3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. — М., 1979.
4. Сканави П.Н. Сборник задач по математике. — М., 1993.
5. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач. М., 1985.
6. Долгов В.А., Лысенко В.В., Авророва М.Д., Серикова Н.Н. Основы дифференцирования и интегрирования в математике. — Краснодар, 1997.

Задание для РГР № 1




Тема: Анализ функций с помощью их производных.

ДЛЯ ЗАДАННОЙ ПРЕПОДАВАТЕЛЕМ КОНКРЕТНОЙ ФУНКЦИИ СДЕЛАТЬ СЛЕДУЮЩЕЕ.

1. Определить промежуток существования функции.
2. Найти значения аргумента х, при которых данная функция имеет экстремум и, вычислив соответствующие значения у, построить эти точки и небольшие части графика вблизи этих точек.
3. Найти координаты точек перегиба, если они имеются, и построить их.
4. Определить, если это возможно, и построить точки пересечения графика с осями координат.
5. Если функция существует в любом промежутке
6. Все отмеченные элементы графика соединить плавной кривой и продолжить ее, учитывая ход изменения при
7. Защитить данную работу у своего преподавателя, умея отвечать на вопросы теоретического материала, относящегося к рассматриваемой теме.


ВАРИАНТЫ ргр № 1






ЗАДАНИЕ ДЛЯ РГР № 2




Тема: Практическое использование определенного интеграла.
ПО ДАННОЙ ПРЕПОДАВАТЕЛЕМ ЗАДАЧЕ СДЕЛАТЬ СЛЕДУЮЩЕЕ.
1. В прямоугольной системе координат построить заданную площадь.
2. С помощью определенного интеграла определить ее значение.
3. Придумать одну задачу из своей специализации, которую можно решить с помощью определенного интеграла..
4. Защитить данную работу у своего преподавателя, умея отвечать на вопросы теоретического материала, относящегося к рассматриваемой теме.

ВАРИАНТЫ РГР № 1
пример выполнения ргр № 1








С(3;6) – точка перегиба.

4. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.



(0;0) – точка пересечения графика с осями Ох и Оу.

5. Найти предел функции при стремлении аргумента к концу своего интервала.


6. Построение графика.







пример выполнения ргр № 2


Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1. Сделаем чертеж.



(0;1) – вершина параболы.

а = –1 – ветви направлены вниз.

Найдем точки пересечения с осью Ох; у = 0.



2. Найдем точки пересечения графиков данных функций.