ТЕМА № 9-10

Интегрирование

Пример 1. Пусть будет первообразной.

Пример 2. Пусть . Отсюда, для той же производной тоже будет первообразной.

Нетрудно увидеть, что перемещая параболу вдоль оси ОУ, мы получим множество парабол, уравнение которых можно записать в виде:

где С — любое постоянное действительное число, и производная которых — единая:

, (12)

где —часть функции у, содержащая аргумент х , т.е. изменяющаяся ее часть, а С — часть функции у, не содержащая аргумент х, т.е. не изменяющаяся ее часть — постоянная — constanta.

Пример. можно записать в виде , где (13)

Прямой метод определения первообразной



После введения понятия первообразной сразу возникают вопросы: можно ли по заданной производной найти ее первообразную и если можно, то как это сделать? Частным случаем утвердительного ответа на эти вопросы могут служить примеры 1 и 2 предыдущего параграфа. Несколько обобщая их и учитывая (12) и (13), можно получить один из способов, называемый прямым, нахождения пары: первообразной и ее производной.
Пусть имеем выраженную в явном виде функцию . Представим ее в виде (12). Один раз дифференцируя, находим ее первую производную . С учетом определения первообразной можно сказать, что для функции первообразной будет .




Пример. Имеем: .

Решение: Представим



Проверку сказанного можно сделать дифференцированием функции у.
Такой подход позволяет составить конкретные пары — производная — первообразная, когда заведомо известна одна из первообразных. А если известна только производная, то как найти ее первообразную и как записать эту процедуру (процесс нахождения производной) в виде формулы — аналитически? Наиболее удачно предложил решать эту задачу в общем виде знаменитый немецкий математик и физик Г.Лейбниц (1646-1716 г.г.) с помощью им введенного понятия дифференциала.


Неопределенный интеграл и интегрирование

По определению дифференциала имеем:

Доказано, что значение функции в любой точке ее существования равно сумме дифференциалов этой функции, взятых относительно любой ее фиксированной точки. То есть, используя первую букву латинского слова SUMMA, можно записать:

(14)

где — производная, а у — ее первообразная. Таким образом через (14) удалось символически выразить в виде равенства первообразную через ее производную как нечто целое, составленное из слагаемых. В качестве термина для (14) в математике укоренилось французское слово integral — интеграл, которое на русском языке означает — полное, целое, суммарное. Со временем буква S превратилась в символ , названный знаком интеграла. Так (14) превратилось в выражение (формулу)

, (14’)

читаемое так: функция игрек есть интеграл от игрек штрих по дэ икс. Здесь принято называть подынтегральным выражением все то, что стоит под знаком интеграла, а то, что стоит между знаком интеграла и буквой d, — подынтегральной функцией.
Так как здесь С есть любое постоянное число, т.е. неопределенная постоянная величина, то и выражение (15) принято называть неопределенным интегралом, а сам процесс нахождения первообразной через ее производную или, что тоже самое, нахождения (взятия) интеграла называется математической операцией интегрирования функции или просто интегрированием. Постоянную С называют еще постоянной интегрирования. Из вышесказанного следует, что интегрирование есть операция, обратная дифференцированию, а неопределенный интеграл есть множество первообразных функций по отношению к заданной производной. Значит, если, дифференцируя найденное в результате интегрирования выражение, мы получим подынтегральную функцию, то интегрирование выполнено правильно, т.е.

. (16)

Например, — справедливое (правильное) равенство, т.к.

— подинтегральная функция.


Основные правила нахождения неопределенного интеграла

Исходя из правил дифференцирования и выражения (16), можно получить следующее:
1. , т.е. интеграл от дифференциала любой функции есть сама функция с точностью до постоянной.
2. Если u = x, то .
3. Если А — величина, не зависящая от аргумента, то , т.е. сомножитель, независимый от аргумента, можно выносить за знак интеграла.
т.е. интеграл от алгебраической суммы равен этой же сумме интегралов от слагаемых.


.



Определение постоянной интегрирования

Если известно значение определяемой через неопределенный интеграл первообразной функции хотя бы при одном значении ее аргумента, то всегда можно найти конкретное значение для произвольной постоянной интегрирования — С при взятом интеграле, т.е. из множества первообразных определить конкретную функцию. Пусть имеем, что при искомая принимает значение, т.е.


.





Проверка: — подынтегральная функция. Значит интеграл взят правильно.

Подставляя в найденную функцию значение отсюда С = 12 + 8 – 8 + 6 = 18. Значит искомая функция имеет вид:


.

Это же самое можно сразу найти из (17) с учетом взятого неопределенного интеграла.

.



Геометрический смысл неопределенного интеграла

Из всего вышеизложенного можно сделать заключение, что с позиции геометрии неопределенный интеграл есть бесконечное множество одинаковых по форме графиков, перемещающихся вдоль оси ОУ относительно графика функции параллельным переносом на С единиц вверх, если С>0, и на С единиц вниз, если С<0.
При этом из множества первообразных всегда можно подобрать такую, график которой будет проходить через заданную точку принадлежит области определения функции В этом состоит геометрический смысл начальных условий.

Пример. Для функции найти первообразную функцию и построить график этой первообразной, проходящей через точку

Решение: , т.е. имеем множество функций , где , т.к. график должен пройти через , то ее координаты должны обратить в верное равенство уравнение найденной функции, т.е.. Отсюда С = 5 – 8 = –3. Значит уравнение искомой первообразной есть , графиком которой является следующая парабола:





Механический смысл неопределенного интеграла

Рассуждая в обратном порядке относительного механического смысла производной (12), из
Аналогично из (19)
Так как в результате интегрирования появляется неопределенное постоянное число С, то (18) и (19) можно сформулировать так: С позиции механики неопределенный интеграл от скорости прямолинейно движущейся точки есть закон изменения ее пути с точностью до С, а неопределенный интеграл от ускорения прямолинейно движущейся точки есть закон изменения ее скорости с точностью до С.
Сами по себе (18) и (19) не имеют практической конкретности. Но, учитывая (17), можно сказать, что при наличии начальных условий ) и при решении (48) определяется конкретная функция без каких-либо неопределенностей; при наличии начальных условийи при решении (19) определяется конкретная функция без каких-либо неопределенностей.
Таким образом, в механических задачах дифференцирование и интегрирование позволяют в принципе по одной из трех функций найти остальные две.

Примеры для самостоятельного решения

Реши и представь преподавателю:







13. Для функции f найти первообразную, график которой проходит через точку М.



14. Скорость прямолинейно движущейся точки задана формулой . Найти путь, пройденный точкой, если в момент t = 2, S = 15.